کار در کلاس ۱ حل حد تابع رادیکالی و جزء صحیح حسابان یازدهم
مقدار حد $\lim_{x \to ۲^+} \frac{\sqrt{x - ۲}}{[x] + ۲}$ را بیابید.
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۳۸ حسابان یازدهم
سلام! برای محاسبه این حد، باید ابتدا با استفاده از **حد یک طرفه** ($\mathbf{x \to ۲^+}$)، **جزء صحیح** را ساده کنیم و سپس حد را به صورت مستقیم محاسبه کنیم. 🧠
---
### گام اول: سادهسازی جزء صحیح
* **حد راست ($\mathbf{x \to ۲^+}$)**: وقتی $x$ از مقادیر بزرگتر از ۲ به ۲ نزدیک میشود (مثلاً $x=۲.۰۱, ۲.۰۰۱, \dots$)، $x$ در بازه $\mathbf{[۲, ۳)}$ قرار دارد.
* **مقدار جزء صحیح**: در این بازه، $\mathbf{[x] = ۲}$ است.
### گام دوم: بازنویسی و محاسبه حد
با جایگذاری $\mathbf{[x] = ۲}$ در ضابطه حد، عبارت تبدیل میشود به:
$$\lim_{x \to ۲^+} \frac{\sqrt{x - ۲}}{۲ + ۲} = \lim_{x \to ۲^+} \frac{\sqrt{x - ۲}}{۴}$$
از آنجا که تابع $f(x) = \frac{\sqrt{x-۲}}{۴}$ در همسایگی راست ۲ پیوسته است، میتوانیم با جایگذاری مستقیم حد را محاسبه کنیم:
$$\lim_{x \to ۲^+} \frac{\sqrt{x - ۲}}{۴} = \frac{\sqrt{۲ - ۲}}{۴} = \frac{۰}{۴} = \mathbf{۰}$$
**نتیجه**: مقدار حد برابر $\mathbf{۰}$ است.
کار در کلاس ۲ محاسبه حد توابع مثلثاتی حسابان یازدهم
مقدار حدهای زیر را بیابید.
۱) $\lim_{x \to -\pi} \frac{\pi \cos x}{x}$
۲) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۳}} \frac{\sin x}{\pi \cos x}$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۳۸ حسابان یازدهم
سلام! برای توابع مثلثاتی، چون $\mathbf{\sin x}$ و $\mathbf{\cos x}$ توابعی **پیوسته** هستند، حد در هر نقطه از دامنه، با **جایگذاری مستقیم** به دست میآید. 📐
---
### ۱) $\lim_{x \to -\pi} \frac{\pi \cos x}{x}$
* **نوع تابع**: گویا/مثلثاتی. ابتدا حد مخرج را بررسی میکنیم.
$$\lim_{x \to -\pi} x = -\pi \ne ۰$$
* **محاسبه**: چون حد مخرج غیر صفر است، میتوانیم با جایگذاری مستقیم حد را محاسبه کنیم:
$$\lim_{x \to -\pi} \frac{\pi \cos x}{x} = \frac{\pi \cos (-\pi)}{-\pi}$$
* **مقدار کسینوس**: $\cos(-\pi) = \cos(\pi) = -۱$ (کسینوس تابع زوج است).
$$\frac{\pi (-۱)}{-\pi} = \frac{-\pi}{-\pi} = \mathbf{۱}$$
---
### ۲) $\lim_{x \to \frac{\pi}{۳}} \frac{\sin x}{\pi \cos x}$
* **نوع تابع**: گویا/مثلثاتی. ابتدا حد مخرج را بررسی میکنیم.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{۳}} \pi \cos x = \pi \cos (\frac{\pi}{۳}) = \pi (\frac{۱}{۲}) = \frac{\pi}{۲} \ne ۰$$
* **محاسبه**: چون حد مخرج غیر صفر است، با جایگذاری مستقیم حد را محاسبه میکنیم:
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{۳}} \frac{\sin x}{\pi \cos x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{۳})}{\pi \cos(\frac{\pi}{۳})}$$
* **مقادیر مثلثاتی**: $\sin(\frac{\pi}{۳}) = \frac{\sqrt{۳}}{۲}$ و $\cos(\frac{\pi}{۳}) = \frac{۱}{۲}$.
$$\frac{\frac{\sqrt{۳}}{۲}}{\pi \frac{۱}{۲}} = \frac{\sqrt{۳}}{\pi}$$
**نتیجه**: مقدار حد برابر $\mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{\pi}}$ است.
